¿Cuál es la fórmula de la cuota mensual de una hipoteca de tipo variable?

En una hipoteca de tipo variable (ARM), el tipo de interés inicial está garantizado durante un periodo determinado. Después de este periodo, el tipo puede subir o bajar.

La cuota mensual de estos préstamos se calcula como si el tipo no cambiara nunca a lo largo de la vida del préstamo. Sin embargo, si el tipo de interés cambia, la cuota mensual también cambia para cubrir el cambio de interés, de manera que la hipoteca se sigue pagando en el mismo tiempo.

Utilizando tu ejemplo, digamos que tienes una hipoteca a 25 años que es un ARM a 5 años. El tipo de interés inicial es del 3%, lo que significa que, durante los primeros 5 años, el tipo de interés es fijo al 3%. La cuota mensual durante esos primeros 5 años es la misma que se pagaría si se tuviera una hipoteca de tipo fijo a 25 años al 3%. Esta es la fórmula:

donde:

• P = cuota mensual
• L = importe del préstamo
• c = tipo de interés mensual. Es el tipo de interés anual dividido por 12.
• n = número de meses del préstamo (años * 12)

En nuestro ejemplo, si el préstamo es de 100.000 dólares, el tipo de interés es del 3% (el tipo de interés mensual es del 0,25%, o 0,0025), y el número de meses es de 300 (25 años), la cuota mensual será de 474,21 dólares.

Ahora, a los 5 años de una hipoteca de 25 años, el plan de amortización nos dice que el capital restante será de 85.505,48 $.

Por lo tanto, si el tipo de interés salta al 4% en ese momento, la cuota mensual se recalculará para que el préstamo se siga pagando en el tiempo original de 25 años. Para hallar el nuevo pago, vuelve a utilizar la fórmula anterior, pero esta vez L=85.505,48 dólares, c=0,04/12=0,0033333, y n=20*12=240. El nuevo pago mensual es de 518,15 $.

Si, en cambio, tuvieras un préstamo en el que el pago fuera constante durante todo el período del préstamo, pero el tipo de interés cambiara durante el período (esto no es común), hay una fórmula para eso también. Vea esta pregunta de StackOverflow para los detalles.

Normalmente, en una hipoteca de tipo variable, la cuota varía en función del tipo. Sin embargo, he aquí una fórmula para una cuota fija, (en la que, como dice el PO, el ajuste del tipo se conoce de antemano):

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

donde

d is the periodic payment
p is the loan amount
r1 is the periodic rate for the first m periods
r2 is the periodic rate for the next n periods

He aquí cómo se obtiene la fórmula.

En primer lugar, tomemos un problema simplificado para mostrar el funcionamiento más claramente.

Supongamos un préstamo de 100.000 libras esterlinas reembolsado mediante 5 pagos anuales. Los 2 primeros años al 3% y los 3 siguientes al 4%.

p = 100,000
r1 = 0.03
m = 2
r2 = 0.04
n = 3

El importe del préstamo es igual a la suma del valor actual de los pagos. Estos son los valores actuales de los pagos para cada período, descontados por el tipo o tipos de interés:-

pv1 = d/(1 + r1)
pv2 = d/((1 + r1) (1 + r1))
pv3 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2))
pv4 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2))
pv5 = d/((1 + r1) (1 + r1) (1 + r2) (1 + r2) (1 + r2))

Y p = pv1 + pv2 + pv3 + pv4 + pv5

Esto puede expresarse como una suma

y convertirse en una fórmula mediante inducción :

p = ((1 + r1)^-m (1 + r2)^-n (-d r1 + 
      d (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2)))/(r1 r2)

Reordenando para dar una fórmula para el pago:

d = (p r1 (1 + r1)^m r2 (1 + r2)^n)/
 (-r1 + (1 + r2)^n (r1 + (-1 + (1 + r1)^m) r2))

∴ d = 22078.67

Tabla de amortización del resultado anterior con cifras y fórmulas

Volviendo al ejemplo de la OP para, digamos, un préstamo de un millón, con el tipo de interés efectivo al 3% durante los 5 primeros años y al 4% durante los 20 siguientes.

p = 1,000,000
r1 = (1 + 0.03)^(1/12) - 1 = 0.00246627
m = 5*12 = 60
r2 = (1 + 0.04)^(1/12) - 1 = 0.00327374
n = (25 - 5)*12 = 240

El pago d = 5026.48

Nota para el uso de tipos nominales

Para tipos de interés nominales del 3% y del 4% compuestos mensualmente:

p = 1,000,000
r1 = 0.03/12 = 0.0025
m = 5*12 = 60
r2 = 0.04/12 = 0.00333333
n = (25 - 5)*12 = 240

El pago d = 5057.80