¿Se aplica el modelo Black-Scholes a las opciones American Style?

La diferencia entre una opción americana y una europea es que la opción americana puede ejercerse en cualquier momento, mientras que la europea sólo puede liquidarse en la fecha de liquidación. La opción americana es un instrumento de “tiempo continuo”, mientras que la opción europea es un instrumento “puntual”. A esta última opción, la europea, se le aplica el método de Black Scholes. En “ciertas” circunstancias (pero en absoluto en todas), ambas son lo suficientemente parecidas como para considerarlas sustitutas.

Uno de sus discípulos, Robert Merton, lo “retocó” para describir las opciones americanas. Hay debates sobre esto, y otros retoques, años después.

Black-Scholes es “lo suficientemente cercano” para las opciones americanas, ya que no suele haber razones para ejercerlas antes de tiempo, por lo que la capacidad de hacerlo no importa. Lo cual es bueno ya que es difícil de modelar matemáticamente, según he leído.

El ejercicio anticipado suele estar causado por un extraño error de valoración por alguna razón técnica / de mercado en la que las valoraciones teóricas de la opción están desordenadas. Si vendes una opción de compra que está muy dentro del dinero y no obtienes ningún valor en el tiempo (después del diferencial), por ejemplo, es probable que hayas vendido la opción de compra a un arbitrajista que va a ejercerla. Pero cosas inusuales como ésta no cambian mucho el panorama general.

Sólo algunas observaciones en el marco de Black-Scholes:

• Las opciones americanas tienen el mismo precio que las europeas sobre activos que no pagan dividendos.
• La fórmula de Black-Scholes sólo es aplicable a las opciones europeas (y, por lo anterior, a las calls americanas sobre activos que no pagan dividendos).
• Por la paridad entre la opción de compra y la opción de venta, si se dispone de precios de compra europeos para algunas fechas de vencimiento y precios de compra, también se dispone de los precios de venta europeos para esas fechas de vencimiento y precios de compra.
  
• Si se tienen los precios de las opciones de compra europeas para una fecha de vencimiento T determinada y para todos los strikes, se puede calcular fácilmente el precio de cualquier pago “europeo” para ese vencimiento (por ejemplo, una opción de compra digital V = 1_{S>K}, o una parábola V = S^2, o lo que sea). Conceptualmente, se forman spreads de mariposa __/_ para una serie de strikes crecientes, y te dan la probabilidad “neutra de riesgo” de que termines ahí, y luego sólo integras sobre tu pago.

A continuación, puede utilizar el marco de Black-Scholes (el precio de las acciones es un movimiento browniano geométrico, no hay costes de transacción, un único tipo de interés, etc., etc.) y métodos numéricos (como un solucionador de PDE) para fijar el precio de las opciones de estilo americano numéricamente, pero no con una simple fórmula de forma cerrada (aunque hay aproximaciones de forma cerrada).

Una pequeña tangente. Se puede afirmar que el S&P tiene una rentabilidad media de, por ejemplo, el 10%, y una desviación estándar de, por ejemplo, el 14%, pero cuando se aplica este criterio, se comprueba que las rentabilidades reales no se ajustan tan bien a la curva de campana estándar. Las anomalías del mercado producen la “inundación de los 100 años” mucho más a menudo de lo previsto, incluso en un periodo de 20 años. Esto sólo significa que el modelo no refleja la realidad en las colas, aunque las desviaciones estándar de +/- 2 parezcan bonitas.

Esto va para los Black-Sholes (casi lo abrevié a las iniciales, luego lo pensé mejor, en realidad me gusta el modelo) también. La distinción entre americano y europeo es lo suficientemente pequeña como para que la precisión del modelo sea más amplia que la diferencia de estos dos estilos de opciones. Creo que si se observa el modelo y el precio real, se puede determinar la volatilidad de una acción determinada utilizando los precios alrededor del precio de ejercicio, pero cuando se modelan las opciones bien fuera de dinero, a menudo se encuentra que el mercado crea su propia valoración.

Sí, su interpretación es correcta. En sentido estricto, el modelo Black-Scholes se utiliza para valorar las opciones europeas. Sin embargo, el resultado (precio) de las opciones europeas y americanas es lo suficientemente cercano y puede utilizarse como aproximación si no se pagan dividendos sobre el subyacente, y el coste de liquidez es cercano a cero (por ejemplo, en un escenario de tipos de interés muy bajos).

Por ahora, no hay métodos de forma cerrada para valorar las opciones americanas. Al menos ninguno que yo conozca. Debe confiar en lattices para la fijación de precios binomiales multiperiodo ), que es principalmente recursiva.

Como no hay ninguna ventaja en ejercer la opción de compra americana antes de tiempo, podemos utilizar la fórmula de Black Schole para evaluar la opción. Sin embargo, la opción de venta americana es más probable que se ejerza antes de tiempo, lo que significa que Black Schole no se aplica a este estilo de opción.