¿Son los billetes de lotería una buena inversión siempre que el bote sea lo suficientemente grande?

Usted pregunta si un billete de lotería puede producir alguna vez un valor esperado (EV) positivo. La respuesta corta es: “no”. Hay un artículo interesante que entra en los detalles y es pesado en las matemáticas y los gráficos. El punto clave:

Incluso si crees que tienes un valor esperado positivo debido a que el tamaño del bote es mayor que el número de números posibles, a medida que se compran más boletos (y el bote aumenta) las probabilidades de que otra persona elija al ganador aumentan y tu EV disminuye. El artículo concluye:

[Esto] … pinta un panorama sombrío para cualquiera que aún mantenga la esperanza de que un billete de lotería pueda ser alguna vez una inversión económicamente racional. A medida que aumenta el valor del premio gordo, el número de personas que intentan ganarlo crece de forma superlineal. Este comportamiento humano tiene una consecuencia matemática: aunque el bote en sí mismo puede crecer teóricamente sin límites, hay un punto en el que la consiguiente compra de boletos crece hasta tal punto que el valor esperado del bote empieza a bajar de nuevo.

Las otras respuestas aquí hacen un excelente trabajo al exponer las matemáticas del valor esperado. He aquí una visión diferente de la cuestión de si los billetes de lotería son una inversión sensata.

Yo solía tener la actitud snob que muchas personas con conocimientos matemáticos tienen hacia las loterías: que son “un impuesto para los analfabetos matemáticos”, etc. A medida que he ido creciendo me he dado cuenta de que, aunque es cierto que los seres humanos son asombrosamente malos para estimar los riesgos, la gente es sorprendentemente racional cuando gasta su dinero. ¿Cuál es entonces la base racional para comprar billetes de lotería, más allá de la explicación estándar de “es un entretenimiento barato”?

Supongamos que usted es una persona muy pobre en Estados Unidos. Tu educación deficiente te preparó para un trabajo en la industria manufacturera que ya no existe, estás trabajando en varios empleos con salario mínimo sólo para mantener la comida en la mesa, y estás a una caída de la escalera del desastre financiero total inducido por los gastos médicos.

Ahora supongamos que tienes cosas en las que te gustaría gastar cantidades realmente enormes de dinero, como, por ejemplo, enviar a tus hijos a colegios con matrículas cada vez más altas, o una casa en un barrio seguro.

Comprar billetes de lotería es una mala inversión, seguro. Nombra otra estrategia de inversión legal que tenga un pago millonario y que sea accesible para los pobres en Estados Unidos_. Incluso si pudieras invertir el 10% de tu salario mínimo sin que te falte la factura de la luz, eso no va a sumar un millón de dólares en tu vida. Probablemente ni siquiera 100.000 dólares.

Cuando se te da a elegir entre ninguna posibilidad de lograr tus objetivos y una posibilidad barata que es literalmente una posibilidad entre un millón de lograr tus objetivos la elección racional es tomar la opción de la mala inversión en lugar de no invertir en absoluto.

Si sólo compras unos cuantos billetes de lotería normalmente, entonces no, no va a ser una buena inversión, como ha demostrado @Jasper.

Sin embargo, hay ciertos escenarios en los que puedes obtener un valor esperado positivo de una lotería.

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En 2012, se reveló que algunos estudiantes del MIT encontraron un esquema para jugar a la lotería del estado de Massachusetts . El juego, llamado Cash WinFall, tenía una peculiaridad en las reglas: el premio mayor tenía un tope de 2 millones de dólares. Todo el dinero del bote que superara los 2 millones de dólares aumentaría el pago de los premios de consolación. Así, el juego tenía a veces un valor esperado positivo. El retorno de la inversión era del 15% al 20%. (http://newsfeed.time.com/2012/08/07/how-mit-students-scammed-the-massachusetts-lottery-for-8-million/) - suficiente para que los participantes dejaran sus trabajos. Esta laguna jurídica específica ya no existe : se puso un tope al número de boletos vendidos por tienda, y luego se suspendió el juego por completo.

Otra estrategia posible es comprar suficientes boletos para casi asegurar un premio, como un grupo de inversión hizo en 1992 . Si el bote es lo suficientemente grande, esta estrategia puede producir un valor esperado positivo, pero no un beneficio garantizado.

Las advertencias incluyen:

• Hay que poner mucho dinero por adelantado, y es probable que se pague a lo largo de muchos años.
• El bote puede dividirse entre varios ganadores. Si varios grupos intentan esta estrategia, todos perderán. Además, cuanto mayor sea el bote, mayor será la tasa de participación entre el público, y mayor será la posibilidad de que algún jugador al azar tenga suerte.
• Necesita tiempo suficiente para realizar las compras. No hay un atajo en el que se pueda decir que se ha comprado uno de cada cosa.

• Las loterías pueden tener reglas para desalentar las compras masivas. Por ejemplo, se puede dar prioridad a los compradores individuales, lo que puede ralentizar la compra al por mayor lo suficiente como para hacerla inviable.

O bien, puedes ser un genio y aprovechar un fallo en el generador de números pseudoaleatorios de la lotería, como hizo un estadístico en una lotería de rasca y gana de Ontario en 2011 .

Otros ya han explicado por qué las loterías tienen un valor esperado negativo, por lo que en ese sentido nunca es prudente comprar un billete de lotería.

Voy a ofrecer una opinión alternativa, que no siempre es imprudente comprar un billete de lotería aunque el valor esperado del billete de lotería sea inferior a su coste (es decir, una pérdida). La pregunta es a qué te refieres con “prudente”

Un escenario (no completamente improbable) es aquel en el que tu vida (financieramente) apesta, e incluso si ahorraras el coste del billete (en lugar de comprarlo) tu vida seguiría apestando. Incluso si ahorraras el coste de una entrada cada semana durante 10 años, tu vida no sería esencialmente mejor. Tal vez podrías permitirte una televisión o un coche nuevo dentro de 40 años, pero si tuvieras que cuantificar la felicidad de tu vida seguiría siendo esencialmente una mierda. Pero ganar la lotería mejoraría significativamente tu vida y te haría feliz. Así que en este escenario hay dos opciones, o bien ahorrar el dinero para tener un 0% de posibilidades de tener una vida feliz, o bien gastarlo en un billete para tener una (extremadamente) pequeña posibilidad de tener una buena vida. Sí, el valor esperado de ahorrar el dinero es mayor que al comprar el billete, pero la “felicidad esperada” es mayor al comprar el billete (no es cero).

Este es claramente un ejemplo extremo, pero podrían aplicarse variantes de éste (la esencia es que tu valoración del dinero no es lineal, 1 millón te hará más de 1000 veces más feliz que 1000).

El bote de mil millones de dólares es un coste hundido, una pérdida para los apostantes anteriores. Si tuvieras 292 millones de dólares y pudieras comprar todas las combinaciones de boletos, estarías apostando a que en el siguiente sorteo no ganarían más de 2 boletos. Incluso si ganaran 3, tendrías todos los boletos del segundo, tercer lugar, etc., y probablemente estarías en equilibrio en el peor de los casos.

Olvida este caso extremo. Si te diera un juego en el que tuvieras la oportunidad de apostar 100.000 dólares por una probabilidad de 1 entre 9 de ganar un millón de dólares, ¿lo harías? Está claro que las probabilidades están a tu favor, ¿verdad? Pero, por esta cantidad de dinero, probablemente pasarías.

Hay un punto en el que el propio mercado parece reflejar un conjunto de resultados probables y puede reducirse a un juego de azar. He escrito sobre el uso de opciones para hacer esto mismo, pero, incluso en mis escritos, lo llamo apuestas. Tengo cuidado de no confundir las dos cosas (invertir y apostar, es decir).

Estimé que el valor medio esperado en efectivo de un boleto de $ 1.00 de MegaMillones en el sorteo del 5 de julio de 2016 fue de aproximadamente $ 1.23 = $ 0.18 de premios de consolación + 258,890,850:1 de probabilidad de ganar parte de un premio mayor en efectivo que aumentó de aproximadamente $ 289.6 millones a aproximadamente $ 313.3 millones.

Estimé que el valor medio esperado en efectivo de un boleto de Powerball de 2 dólares en el sorteo del 13 de enero de 2016 era de unos 1,65 dólares. Lo estimé de la siguiente manera:

1. Long-term mean prizes / ticket: $ 1.00  
2. Mean consolation prizes / ticket: $ 0.32  
3. Estimated cash jackpot: 930 million dollars.  
4. Previous estimated cash jackpot: 558 million dollars.  
                    -------------------------------- ----------------------  
5. = (3) - (4). Estimated pot increase 372 million dollars.  
6. = (1) - (2). Estimated pot increase / ticket $ 0.68.  
7. = (5) / (6). Estimated tickets sold 547.1 million.  
8. Odds of winning jackpot: 292.2 million to one.  
                    -------------------------------- ----------------------  
9. = e^(-(7)/(8)). Chance next ticket not shared 15.4 %  
10.= 1 - (9). Chance next ticket shared: 84.6 %  
11.= (8) * (10). # shared combinations: 247.3 million.  
12.= (7) / (11). Mean splits already of "" 2.21  
13.= 1 + (12) Mean splits of next ticket of "" 3.21  
14.= (9)+(10)/(13). Mean shares of next ticket 41.72 %  
15.= (3)*(14)/(8). Mean jackpot pay next ticket $ 1.328  
                    -------------------------------- -------  
16.= (2) + (15). Expected value / ticket: $ 1.648

17.= (9). Chance of another roll-over: 15.4 % . (unos dos treceavos).

Esta estimación no tiene en cuenta los impuestos. (Hay formas de minimizar la factura fiscal.) Y, por supuesto, casi el 96% de los boletos no ganan nada.

Notas:

1. Según los estados financieros auditados de 2014 de la Lotería de Connecticut (en la “Lista de márgenes de beneficio por tipo de juego, año terminado el 30 de junio de 2014”), algo menos del 50% de sus ventas de boletos de Powerball y MegaMillions van a los fondos de premios. Esto coincidió con las probabilidades de PowerPlay de enero de 2016: Cuando el bote estaba por encima de los 150 M$, 0,493 $ de cada apuesta complementaria de PowerPlay de 1$ se destinaron a premios incrementales.
2. Según Powerball - Premios y probabilidades “ el 9 de enero de 2016, 0,32 $ de cada boleto de 2,00 $ no PowerPlay se destinaron a premios no relacionados con el bote.
3. Según lo anunciado en la página de inicio de Powerball el 12 de enero de 2016.
4. Según lo anunciado en la página de inicio de Powerball el 9 de enero de 2016.

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1. Una rápida comprobación de cordura es comparar este número estimado de boletos vendidos, contra el número de boletos ganadores del sorteo anterior. Tal y como se anunció en la página de Powerball el 13 de enero de 2016, el sorteo del 9 de enero de 2016 otorgó 18.315.365 premios de consolación. Según Powerball - Premios y probabilidades ”, “Las probabilidades generales de ganar un premio son de 1 en 24,87”. 24.87 * 18,315,365 = about 455.5 million“ boletos vendidos en un periodo de 3 días. El sorteo del 13 de enero tuvo 4 días de venta de boletos.
   Este valor (de 455,4 millones de boletos) es un valor aproximado, porque se basa principalmente en un número que se sorteó. Si los jugadores humanos evitaran (o prefirieran) el número entre el 1 y el 26 que salió sorteado como PowerBall, la estimación estaría distorsionada.

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1. Cada compra de boletos se coordina con sólo una pequeña fracción de las demás compras de boletos. Por lo tanto, podemos aproximar las combinaciones de números como si fueran elegidas de forma independiente. Si las probabilidades de ganar el bote son n:1, y se venden m boletos, las probabilidades de que no gane ningún boleto son (1 - 1/n)^m. e_ = el límite a medida que n va al infinito de (1 - 1/n)^-n. Así, para valores enormes de n, (1 - 1/n)^m es aproximadamente e^(-m/n).
   

Actualizado para el sorteo de MegaMillones del 5 de julio de 2016.

Pregunta: ¿Un billón de dólares te hace 1.000 veces más feliz que un millón de dólares? Respuesta: No es así.

Lo que cuenta no es la cantidad de dinero, sino la mejora subjetiva que supone para tu vida. Y esa mejora no es lineal, por lo que el valor esperado del aumento de tu felicidad / bienestar es negativo.

El panorama cambia si consideras que al comprar un billete puedes decirte durante una semana “la semana que viene puedo ser multimillonario”. Lo que realmente pagas no es el valor esperado de la ganancia, sino una semana de esperanza de hacerte rico.

Me doy cuenta de que la mayoría de los carteles están basados en los Estados Unidos, pero el sábado el Reino Unido tuvo el mayor pago de su historia (unos miserables 60 millones de libras).

Debido a las reglas de allí, el “valor” estimado de un billete de 2 libras estaba entre 3 y 5 libras. http://www.theguardian.com/science/2016/jan/09/national-lottery-lotto-drawing-odds-of-winning-maths

Creo que jugar a ciertos tipos de lotería es tan económico como comprar ciertos tipos de seguro.

Una lotería es un seguro invertido.

Permítanme explicar.

Compramos seguros por al menos dos razones. La primera es clara: pagamos una cuota para protegernos de un riesgo que no queremos (o no podemos) asumir. Aunque, por término medio, comprar un seguro es una pérdida, porque pagamos todos los edificios de la oficina del seguro y los sueldos de los empleados, sigue siendo algo razonable. (Pero también debe quedar claro que no es razonable comprar un seguro para riesgos que uno mismo podría soportar fácilmente).

La segunda razón para comprar un seguro es que nos tranquiliza. No tenemos que temer un robo o un error que nos haga responsables o que el agua dañe nuestra casa. En ese sentido, compramos la libertad de la pena a cambio de una cuota, incluso si el daño no nos arruinaría de hecho. Eso es totalmente legítimo.

Ahora quiero argumentar que la compra de un billete de lotería sigue la misma lógica y, por tanto, no es económicamente irrazonable en absoluto.

Aunque comprar un billete de lotería es, en promedio, una pérdida, nos da la oportunidad de obtener una cantidad de dinero que normalmente nunca obtendríamos. (Eric Lippert ya expuso este argumento.) La cuota de la lotería nos compra una pequeña posibilidad de obtener algo muy valioso, al igual que el seguro nos libera de un pequeño riesgo de algo muy malo. Si no compramos el billete, podemos tener un 0% de posibilidades de hacernos (extremadamente) ricos. Si lo compramos, tenemos claramente una probabilidad > 0%, lo que puede considerarse una mejora. (Imagina que tienes un 0,0000001% de posibilidades de salvar a un ser querido de una muerte segura con un billete. Picarías).

Incluso el segundo argumento, el de que un seguro nos tranquiliza, puede reflejarse para las loterías. La posibilidad de ganar algo puede proporcionarnos entretenimiento en nuestra vida cotidiana, que de otro modo sería aburrida.

Teniendo en cuenta que jugar a la lotería sólo tiene sentido por la posibilidad de obtener más dinero del que sería posible de otro modo, hay que evitar las loterías que tienen muchos premios pequeños porque no nos interesan realmente. (Sería más económico ahorrar el dinero para cantidades más pequeñas.) Lo ideal es que sólo queramos loterías que se inclinen por los grandes premios de dinero.

El juego nunca es una inversión inteligente. Incluso suponiendo que las probabilidades indicadas sean correctas, puede haber múltiples ganadores, y el bote se reparte entre los ganadores, por lo que el pago individual puede ser significativamente menor que el bote total. Si yo tomara un dólar de usted y un dólar de su amigo con la promesa de que les devolvería a los dos un total de 3 dólares si ambos adivinan el resultado de un único y justo lanzamiento de moneda, ¿aceptaría la oferta?

Ten en cuenta, además, que el valor del “premio gordo” es bastante engañoso: es la suma de los pagos anuales, y si lo reduces a valor presente es significativamente menor.

Se puede tener un rendimiento esperado positivo en la compra de un billete de lotería, pero sólo si la lotería requiere que todos los jugadores elijan sus propios números y no tiene la opción de comprar un billete con un conjunto de números generados al azar.

Esto se debe a que la gente es muy mala a la hora de elegir números al azar, y tenderá a elegir números que estén bastante espaciados o basados en fechas en lugar de números genuinamente aleatorios. Por ejemplo, en enero de 1995 la lotería nacional del Reino Unido tenía números bastante espaciados (7, 17, 23, 32, 38 y 42), y hubo 133 ganadores con los seis números.

Así que la forma de ganar es esperar a un sorteo en el que el bote sea lo suficientemente alto como para que sus ganancias esperadas sean positivas si es el único ganador, y elegir un conjunto de números que parezca estúpidamente no aleatorio, pero que no sea tan no aleatorio como para que la gente lo haya elegido de todos modos, como 1, 2, 3, 4, 5, 6. Para una lotería de “elegir 6 en el rango de 1-49” se podría elegir algo como 3, 42, 43, 44, 48, 49. Pero no funciona si hay una opción aleatoria, ya que un número significativo de jugadores la utilizará y obtendrá números realmente aleatorios, por lo que tus posibilidades de ser el único ganador se reducen mucho.

Los billetes de lotería donde yo vivo suelen ser para obras de caridad. La organización benéfica hace cosas buenas con tu dinero. Así que puedes comprar un billete y sentirte bien tanto si ganas como si no, lo que lo convierte en una inversión en tu propio bienestar.

Para algunos de nosotros, que quizás compramos un billete de lotería una vez al año, es la diversión por la que estás pagando. Sabes que en realidad no vas a ganar, pero te pasas unas horas emocionado esperando el sorteo. Más barato que el cine.

Y nunca se sabe, puede que ganes después de todo… Las probabilidades pueden ser ridículas, pero a alguien le va a tocar…

Posiblemente, si puedes conseguirlos con descuento. Pero no si tienes que pagar el precio completo.

Digamos que hay un bote de 1 millón de dólares en billetes de 1 dólar. El vendedor podría vender 1,25 millones de estos boletos, para recaudar 1,25 millones de dólares pagar a un ganador 1 millón de dólares, y quedarse con 250.000 dólares. En este ejemplo, el llamado “valor esperado” de su boleto de 1 dólar/1,25 millones de boletos= 80 céntimos, que es menos de 1 dólar. Si alguien estuviera dispuesto a “deshacerse” de su boleto por, digamos, 50 céntimos, lo que usted pagaría sería menos que el valor esperado, y con suficientes “ensayos”, obtendría un beneficio.

Warren Buffett solía decir que nunca compraría un billete de lotería, pero que no rechazaría uno que le dieran gratis. Ese es el último “descuento”.

Los botes más grandes funcionarían según el mismo principio; perderías dinero “de media” por comprar un billete. Así que no es el tamaño del Bote, sino el tamaño del descuento lo que determina si merece la pena o no comprar un billete de lotería.

Aquí hay un enlace interesante a una discusión sobre un grupo de inversores australianos en la década de 1990 que compró casi todas las combinaciones de la lotería de Virginia Occidental. Es un material bastante fascinante. Cómo un grupo australiano acaparó una lotería

No necesito añadir nada a lo que ya se ha dicho aquí, ¡pero es una historia divertida!

Muchas de estas respuestas son realmente débiles.

El valor esperado es prácticamente la respuesta. Sin embargo, también hay que tener en cuenta, sobre todo porque se compran muchos millones de boletos, que parte de la valoración son las probabilidades de que el bote se divida en x partes.

Así que aproximadamente 1 de cada 290–> el bote tiene que ser un bote de 580 millones de dólares para el boleto de 2 dólares. Supongamos que la media de ganadores es de aproximadamente 1,5, por lo que la mitad de las veces se va a dividir el bote, con lo que la valoración necesaria para el mismo bote es de 870 millones de dólares.

En realidad, no es muy común que se repartan los botes porque las probabilidades son muy malas + mucha gente elige “números favoritos”.

¿Es jugar a la lotería una inversión sabia? -Probablemente no.

¿Es jugar a la lotería una inversión en absoluto? -Probablemente no, aunque haré un comentario al respecto más adelante.

¿Tiene algún sentido jugar a la lotería para mejorar tu asignación total de activos? –Si sigues la teoría del Cisne Negro, en realidad podría.

Permítanme explicar. La teoría del Cisne Negro dice que eventos que consideramos extremadamente improbables pueden tener un impacto extremo. Tan extremo, de hecho, que su valor superaría masivamente el valor combinado de todos los impactos de todos los eventos probables juntos. En términos estadísticos, se trata de sucesos situados en los límites exteriores de la distribución común de probabilidades, los llamados valores atípicos que tienen un impacto elevado.

Ejemplo: Si invierte hoy 2.000 dólares en la bolsa, permanece invertido durante 20 años y reinvierte todas las ganancias, es probable, dentro de un intervalo de confianza del 66%, que obtenga una rentabilidad esperada (RE) del 8% anual de media, lo que le dará un total de aproximadamente 9.300 dólares. Esto está muy simplificado, por supuesto, la cifra real puede ser muy diferente dependiendo de las desviaciones de la RE y de cuándo se produzcan. Ahora tomemos los mismos 2000 dólares y compremos billetes de lotería semanales durante 20 años. En aras de la simplicidad, renunciaré a un cálculo del VAN y supondré que un billete cuesta aproximadamente 2 $. Si ganara, lo que sería un acontecimiento totalmente improbable, sus ganancias superarían con creces su RE por invertir la misma cantidad.

Cuando se elaboran modelos que deberían ser matemáticamente resolubles, estos valores atípicos no suelen tenerse en cuenta. La teoría estándar de la gestión de carteras (PM) sólo funciona dentro de los llamados intervalos de confianza hasta el 99%; todo lo demás no sería práctico. En otras palabras, si no hay al menos un 1% de probabilidad de que se produzca un determinado resultado, lo ignoramos. En la práctica, la mayoría de los analistas toman intervalos de confianza aún más pequeños, por lo que ignoran aún más.

Esa es la razón, sin embargo, por la que ningún objeto que entre dentro de este límite exterior es una inversión en términos de la teoría PM. O al menos no es recomendable.

Dicho todo esto, todavía podría mejorar su posición si añade un billete de lotería a la mezcla. La teoría del Cisne Negro no sólo se aplica al lado del riesgo de las cosas, sino también al lado del azar. Así, mientras que la teoría estándar del PM no consideraría el billete de lotería como una inversión, por lo que no lo aceptaría en la asignación de activos, la teoría del Cisne Negro apreciaría el hecho de que hay una mínima posibilidad de un gran éxito.

Aun así, en términos de valoración, sigue la teoría PM. El billete de lotería, si bien podría formar parte de algún “balance de inversión”, tendría que amortizarse a 0 inmediatamente y no se le atribuiría ningún valor esperado. En consecuencia, una inversión o apuesta de este tipo sólo tiene sentido si tus otras inversiones seguras te dan tantos ingresos que puedes permitírtelo realmente sin tener que renunciar a nada más en tu vida. En otras palabras, tienes que considerarlo como dinero tirado por la ventana.

Así que, aunque desde una perspectiva psicológica tiene sentido que especialmente la gente más pobre compre un billete de lotería, como muy bien ha explicado Eric, en realidad son los más ricos los que deberían considerar hacerlo. Si es que hay alguien. :)

Las loterías son como el reverso de las pólizas de seguro. En lugar de pagar dinero para mitigar el impacto de un evento improbable que es extremadamente negativo, se paga dinero para obtener una oportunidad de experimentar un evento improbable que es extremadamente positivo.

Una cosa que hay que tener en cuenta con respecto a las loterías es la utilidad marginal decreciente del dinero. Si sabes que nunca utilizarás más de, digamos, 100 millones de dólares en toda tu vida, por mucho dinero que adquieras, entonces comprar boletos de loterías en las que el gran premio supera los 100 millones de dólares deja de ser cada vez más “rentable”.

Personalmente, prefiero jugar a una lotería en la que el gran premio esté por debajo de los 100 millones, y en la que no haya premios por debajo del millón, porque no creo que ninguna otra cantidad de ganancias vaya a cambiar mi vida de una manera que pueda apreciar plenamente.

Matemáticamente hablando, habría un punto en el que el valor esperado EV de la compra de todos los boletos posibles sería favorable, pero sólo si se tiene en cuenta tanto el pago del premio mayor y los pagos menores de todos los boletos ganadores, sin embargo, prácticamente hablando desde el Powerball tiene un límite de pago de responsabilidad que significa que no tienen que pagar más dinero de lo que tomaron en usted no puede vencer a la casa (o el gobierno)

Según un asesor financiero con el que hablé, la lotería es la inversión más arriesgada, mientras que el dinero en efectivo es la más segura. Todo lo demás se sitúa entre estos dos extremos.