¿Qué significa el valor medio de la rentabilidad logarítmica de una acción?

Las rentabilidades logarítmicas se utilizan con mucha frecuencia en las matemáticas financieras, especialmente en las finanzas cuantitativas. La propiedad importante es que son simétricos en torno a 0 con respecto a la suma.

Esta propiedad hace que sea posible hablar de una rentabilidad media.

Por ejemplo, si una acción baja un 20% en un periodo de tiempo, tiene que ganar un 25% para volver al punto de partida. En cambio, para el rendimiento logarítmico, los números son 0,223 a la baja durante un periodo de tiempo, y 0,223 al alza para volver al punto de partida.

En este sentido, puedes simplemente tomar una media aritmética y tiene sentido. Puedes sumar o restar libremente valores en la escala de logaritmos de rentabilidad, como los tipos de interés logarítmicos o las tasas de inflación logarítmicas. En cambio, la media aritmética de los rendimientos (no logarítmicos) no tiene sentido: Una acción con rendimientos del -3% y del +3% tendría una media del 0%, cuando en realidad la acción ha bajado de precio…

El enfoque correcto sobre los rendimientos directos del precio sería tomar una media diferente (por ejemplo, geométrica) para obtener una media decente. Y sin embargo, será difícil incorporar otra información, como restar la tasa libre de riesgo o la tasa de inflación para obtener rendimientos medios ajustados a la tasa.

En resumen: los rendimientos logarítmicos son más fáciles de manejar computacionalmente, especialmente en masa, pero los rendimientos no logarítmicos son más fáciles de comprender/imaginar como un número propio.

Probablemente la mejor manera de investigar esto es ver un ejemplo. En primer lugar, como ya han dicho los comentaristas de arriba, el rendimiento logarítmico de un período es log(precio en el momento t/precio en el momento t-1), que es aproximadamente igual al cambio porcentual del precio desde el momento t-1 hasta el momento t, _siempre que este cambio porcentual no sea grande en comparación con el tamaño del precio. (Tenga en cuenta que aquí hay que utilizar el logaritmo natural, es decir, el logaritmo a la base e -botón ln en una calculadora-).

El uso principal del logaritmo es que es un proxy para el cambio porcentual en el precio, que resulta ser matemáticamente conveniente, por varias razones que en su mayoría ya se han mencionado en los comentarios.

Pero esto ya lo sabes; tu pregunta real es sobre la media del log-return en un periodo de tiempo. ¿Qué indica esto sobre la acción?

La respuesta es: si el precio de la acción no varía mucho, el rendimiento logarítmico medio es más o menos igual a la variación porcentual media del precio, y es muy fácil y rápido de calcular. Pero si el precio de las acciones es muy volátil, el rendimiento logarítmico medio puede ser muy diferente de la variación porcentual media del precio.

He aquí un ejemplo: los precios de cierre de Pitchfork Oil de la semana pasada son: 10, 5, 12, 5, 10, 2, 15. Los cambios porcentuales son: -0,5, 1,4, -0,58, 1, -0,8, 6,5 (donde -0,5 significa -50%, etc.) El cambio porcentual medio es de 1,17, es decir, del 117%. Por otra parte, las rentabilidades logarítmicas para el mismo periodo son -0,69, 0,88, -0,88, 0,69, -1,6, 2, y la rentabilidad logarítmica media es de aproximadamente 0,068. Si utilizáramos esto como indicador de la variación porcentual media del precio durante los siete días, obtendríamos un 6,8% en lugar de un 117%, lo que es totalmente erróneo. La razón por la que es errónea es porque el precio fluctuó mucho.

Por otro lado, los precios de cierre de United Marshmallow durante el mismo periodo son 10, 11, 12, 11, 12, 13, 15. El cambio porcentual medio de un día a otro es de 0,073, y el rendimiento logarítmico medio es de 0,068, por lo que en este caso el rendimiento logarítmico está muy cerca del cambio porcentual. Y tiene la ventaja de que se puede calcular a partir de los primeros y últimos precios, porque las propiedades de los logaritmos implican que se simplifica a (log(15)-log(10))/6. Obsérvese que esto es exactamente lo mismo que para el aceite de horquilla.

Por lo tanto, una de las razones por las que podría interesarle la rentabilidad media del logaritmo es que proporciona una forma muy rápida de estimar la rentabilidad media, si el precio de la acción no está cambiando mucho.

Otra razón, más sutil, es que en realidad se comporta mejor que el rendimiento porcentual. Cuando el precio de Pitchfork salta de 5 a 12 y luego vuelve a caer a 5, los cambios porcentuales son de +140% y -58%, para una media de +82%. Eso suena bien, pero si lo hubieras comprado a 5 y luego lo hubieras vendido a 5, en realidad habrías ganado un 0% de tu dinero. Los rendimientos logarítmicos para el mismo periodo no tienen esta inquietante propiedad, porque sí suman el 0%.

¿Cuál es la verdadera diferencia en este ejemplo? Pues bien, si usted hubiera comprado 1 dólar de Pitchfork el martes, cuando estaba a 5, y lo hubiera vendido el miércoles, cuando estaba a 12, habría obtenido un beneficio de 1,40 dólares. Si el miércoles hubieras comprado otro 1$ y lo hubieras vendido el jueves, habrías tenido una pérdida de 0,58$. En total, su beneficio habría sido de 0,82 dólares. Esto es lo que calcula el porcentaje medio de rentabilidad.

Por otro lado, si usted hubiera sido un inversor a largo plazo que hubiera comprado el martes y aguantado hasta el jueves, entonces citar una “rentabilidad media” del 82% es muy engañoso, ¡porque no se corresponde en absoluto con la rentabilidad del 0% que realmente obtuvo!

La moraleja es que puede ser mejor fijarse en las rentabilidades logarítmicas si se es un inversor del tipo “comprar y mantener”, porque las rentabilidades logarítmicas se anulan cuando los precios fluctúan, mientras que los cambios porcentuales en el precio no lo hacen. Sin embargo, la otra cara de la moneda es que el rendimiento logarítmico medio durante un periodo de tiempo no ofrece mucha información sobre la evolución de los precios, ya que es simplemente (log(precio final) - log(precio inicial))/número de periodos. Como es tan fácil de calcular a partir de los propios precios iniciales y finales, lo normal es que no lo veas en las páginas financieras, que yo sepa.

Por último, para responder a su pregunta: “¿Conocer este único dato indica algo sobre la acción?”, yo diría: no realmente. Desde el punto de vista de este único indicador, Pitchfork Oil y United Marshmallow parecen inversiones idénticas, cuando claramente no lo son. Conocer el rendimiento medio del logaritmo es exactamente lo mismo que conocer la relación entre los precios finales y los iniciales.

Conocer la rentabilidad logarítmica es útil: la rentabilidad logarítmica puede ayudar a calcular la rentabilidad anual durante el periodo que se estimó, y ésta debería ser comparable entre valores.

Sólo hay que tener cuidado con el cálculo para tener en cuenta los dividendos de forma razonable.